BENFORD KANUNU ———————— ALINTIDIR

BENFORD KANUNU

 

 

 Hepimizin ilköğretim yıllarında öğrendiği üzere; sayıların son basamağındaki rakamlar, bölünebilme ile ilgili bilgiler vermektedir.

Örneğin; son basamağındaki rakamı “0” olan bir sayının “5” veya “2” ye kalansız bölünebilmesi gibi.

Bir sayının ilk basamağındaki rakamdan nasıl bir bilgi elde edilebilir?

Gezegenlerin hareketleri ile ilgili çalışmalar yapan Amerikalı astronom ve matematikçi Simon Newcomb’un ilginç gözlemleri, bizleri bu sorunun cevabına götürmüştür.

Newcomb’un yaşadığı dönemde, hesap makineleri henüz bulunmadığı için, logaritma cetvelleri kullanılmaktaydı.

“Nevvcomb, hesaplamalarda kullanılan logaritma cetvellerinin başlangıç sayfalarının son sayfalara göre daha çok kirli ve yıpranmış olduğunu fark etmiştir (Lemis vd., 2000:236).

Bu ilginç durum, logaritma cetvelinde, ” 1 ” ile başlayan sayılarla “2” ile başlayan sayılardan daha çok, “2” ile başlayan sayılarla ” 3 ” ile başlayan sayılardan daha çok çalışıldığını göstermekteydi.

Nev/comb, hesaplamalarda, 1 ile başlayan sayıların 8 veya 9 ile başlayan sayılardan daha çok kullanıldığını, 1881 yılında “American Journal of Mathematics” dergisinde yayımladığı “Logaritma Kanunu” adlı makalesi ile ortaya atmıştır (Nevvcomb, 1881: 39-40).

Ancak, makalenin yayınlandığı dönem içerisinde, Newcomb’un “kirli sayfalar” fenomenine rastlantının ötesinde değer verilmemiştir.

BENFORD YASASI

 

Logaritmik ölçek.

Bu reel sayılar çizgisi üzerinde rassal olarak x için konum yaklaşık olarak 1/3 olasılıkla (10un her ussel katının en geniş kuşağı olan) bir 1 olacaktır.

Benford’un savı, birinci-tamsayı savı olarak da anılır.

Buna göre birçok pratik gerçek hayat verileri kaynakları bir seri sayı listesi olarak verilirse en kullanılan ilk rakam (1/3 olasılıkla) 1’dir ve diğer ilk rakamlara gelince kullanılan tamsayıların değerlerinin olasılığı giderek azalma gösterir.

Örneğin ilk sayının 9 olması olasılığı 1/20’den daha küçüktür.

Bu ifadenin dayanağı, pratik gerçek dünya ölçümlerinin genellikle logaritma olarak dağıldığı ve bunun bir sonucu olarak genel olarak pratik gerçek dünyada ölçme suretiyle ele geçen değerlerin logaritmalarının dağılımının genel olarak tekdüze dağılım olduğudur.

 Bu beklenmedik ve ilk bakışta pek mantıki görünmeyen sonuç çok geniş alanda sayısal verilere uygulanabilmektedir.

Örneğin elektrik kullanım faturaları, sokak adres numaraları, hisse senedi fiyatları listeleri, ölüm hadleri, nehir uzunlukları, fiziksel sabitler ve matematik sabit değerler ve (doğada çok olarak gözlemlenebilen) güç savları tarafından açıklanabilen süreçler Benford’un savına uyma göstermektedir.

Daha şaşırtıcı ve daha mantıksal olmaktan ayrılan taraf, bu sonucun verilerin sayı bazının değiştirilmesi halinde bile, oranlar değişmesine rağmen geçerli olmasıdır.

 Bu savın adı, bu savı 1938’de ortaya koyan fizikçi Frank Benford[1] anılarak konulmuştur.

Gerçekte, bu savın açıkladığı olaylar ilk defa 1881’de Simon Newcomb tarafından açıklanmıştır.[2]

1946’da L.V.Furlan aynı savı Almanca açıklamıştır.[3]

 Bu savın en ayrıntılı matematiksel açıklaması ve matematiksel ispatı 1988’de Theodore P. Hill yapılmıştır.[4]

 Matematiksel ifade

 Daha kesin olarak, Benford’un savı, başlangıç tam-sayısı olan ‘(eğer b≥ 2 ise) b bazında d sayısının (yani d {1, , b 1} ) ortaya çıkmasının

 logb(d + 1) − logbd = logb((d + 1)/d)

 değerine orantılı bir olasılıkla olduğunu ileri sürmektedir.

 Eğer d ilk tam-sayı ve p ise olasılık ise, 10 bazı ile verilen veri ilk rakamların dağılımı, Benford’un savına göre şöyle olacaktır:

 d   p

1   30.1%

2   17.6%

3   12.5%

4   9.7%

5   7.9%

6   6.7%

7   5.8%

8   5.1%

9   4.6%

Buna dayanılarak ilk iki tamsayı hakkında şöyle bir kural ortaya atılabilir:

Her veri için ilk iki rakam ihtiva eden blokun meydan çıkma olasılığının ye eşittir ve n = 10, …, 99

 log100(n + 1) − log100(n)

olur.

İlk sıfır içermeyen üç rakamdan oluşan blokların ve daha uzun olan blokların olasılıkları da benzer şekilde ortaya çıkartılabilir.

(Gerçekten, b bazında p tane ilk rakam Benford’un savı sonucu bp bazında olan birinci ilk rakamlar için Benford’ savının sonucunu hemen takip ederler.)

 Bu savın neyi açıkladığı şöyle de anlatılabilir: Herhangi bir rakam 10’un bir üssü ve bir m (eğer 1≤m<10) değerde bir mantis (mantissa) ile çarpımı olarak yazılabilir.

Benford’un savı doğru ise verinin mantislerinin dağılımı bir 1/x dağılımı gösterecektir.

Birçok kişi bu prensibin sonucu olarak eldeki (normalize edilmeyen) veri rakamların dağılımın da aynı dağılımı göstermesi gerektiğine yanlış olarak inanmaktadırlar.

Benford’un savı yalnızca mantis dağılımının (1den 10a sınırlanmış olarak) Benford savına göre dağılmasına ilişkilidir.

Bu dağılımın ortaya çıkmasının sürpriz yaratmaması gereği [5] verilerin logaritmalarının geçerlilik alanlarına bakışla açıklanabilir.

Orijinal veri dağılımının bir mantis dağılımına indirgenmesi verimizin logaritma değerinin kesirsel tarafının dağılımının incelenmesine dönüştürülmüştür.

Bu dağılımın genişliği 0 ile 1 arasıdır. Herhangi bir dağılımı bu türlü değiştirmenin sonucunda verinin kesirsel tarafının yaklaşık olarak bir tekdüze dağılım ortaya çıkaracağı kolayca görülebilir.

(Çünkü dağılımın kuyruğunun eğimleri 0-1 arasında eğim değerlerine dönüştürülmekte ve alttaki ve üsteki kuyruktaki eğimler birbirini elimine etmektedirler.)

Logaritma değerinin kesirsel tarafının yaklaşık tekdüze dağılımı göstermesi doğrudan doğruya orijinal verilerin yaklaşık 1/x dağılımı göstermesinin karşılığıdır.

Bu doğal olarak, verilerin 1 ile 10 arasında bulunması olabilirliğinin 1000 ila 10000 arasında olmasından daha büyük olmasına bakmadan uygulanabilir.

 

Açıklama

 

Bu savın açıklaması, eğer ilk tamsayıların belirli bir dağılımı gerçekte bulunursa bu dağılımın ölçme birimlerinden bağımsız olması gerekliliğine dayandırılır.

Örneğin, eğer uzunluk ölçülerimizi santimetreden milimetreye çevirirsek (yani bir sabit 1/10 ile çarpım işlemi uygulanırsa), dağılımın değişmemesi gerekir – yani dağılım ölçekle değişmez.

Bu gerçeğe uyan tek istatistik dağılım logaritması tekdüze olan dağılımdır.

 Fiziksel sabitler listesinde bulunan ilk tamsayıların frekansının Benford’un savı dağılımına karşı ayni grafikte gösterilmesi.

Örneğin, herhangi iki nesne arasındaki uzaklığın sıfır olmayan ilk tamsayısı için dağılım, bunun santimetre, milimetre, hatta inç veya yarda biriminde/ölçeğinde olmasına bakmadan, ayni şeklini koruyacaktır.

Yani eğer ilk tamsayılar için belirlenen bir dağılım varsa, o dağılım verinin ne ölçekte olduğuna hiç dayanmadan uygulanabilecektir.

 Daha matematiksel deyimle, X bir rassal değişken ise ve bu değişken olasılığı herhangi bir pozitif tamsayı olan x’e eşit olması (eğer s>1 ise) s−s değerine oranlıdır; yani

 P(X=x)\propto x^{-s}\qquad s>1.

Bu oran için sabit 1/ζ(s) olur ve burada ζ Riemann zeta fonksiyonu olur (bakın zeta dağılımı).

X içindeki ilk tamsayının n olmasının olasılığı, s değeri 1’e yaklaştıkça

 log10(n + 1) − log10(n)

 ifadesine yaklaşır.

 Benford’un savının şeklinin çok daha kesinlikle açıklanması eğer sayıların “logaritma” değerlerinin ayrık tekdüze dağılım gösterdiği varsayımının gerçekte doğruluğu ile mümkün olabilir.

Bu demektir ki bir sayının 100 ile 1000 arasında (yani logaritma ile 2 ile 3 arasında) olması, 10,000 ile 100,000 (logaritma ile 4 ile 5 arası) olması ile aynı olasılıktadır.

Birçok veri sayılar, özellikle gelirler, hisse senedi, borsa fiyatları vb gibi üstel büyüme gösteren değişkenler için bu pratiğe gerçeklere uygun bir varsayım olacaktır.

 Bunun nasıl ortaya çıktığı için bir basit örnek verilebilir.

Bir nesne miktarının üstel bir oranda büyüme göstermesi demek bu artış haddinin bir sabit olduğunu kabul etmektir.

Eğer miktarın iki misline büyümesi bir yıl gerektiriyorsa, gelecek yıl da tekrar iki misli büyüme gösterecek demektir ve bu şekilde 3. yılda da ve diğer yıllarda iki kat artma devam edip duracağı varsayılıdır.

Düşünelim ki her yıl iki misli artış gösteren bir nesneyi ölçmek için başlama anının sayının 100’e geldiği zaman olduğunu kabul edelim.

Bütün birinci yıl sayışının ilk rakamı 1 olacaktır.

İkinci yıl için ilk rakam ancak ilk yedi ay için 2 olacaktır ve diğer beş ay 3 olacaktır. Üçüncü yılda ise sayının ilk rakamı 4, 5, 6 ve 7’yi aşacak ve takip eden rakamlardan daha çok uzaklaşmaya başlayacaktır.

Dördüncü yılın hemen başlarında ilk rakam 8 ve 9 değerlerini geçecektir ve miktarın değeri 1000’i aştığı zaman bu süreç yeniden başlayacaktır.

 Bu örnekten kolayca görülmektedir ki eğer miktar değeri bir yıl içinde rassal zamanlarda örnek alıp ölçülürse, örnek ölçülmesinde bulunan en olabilir ilk rakam değeri 1 olacaktır.

Bunu takip eden ölçmelerde değer için daha büyük ilk rakamlar bulunması, değerin daha yüksek ilk rakamlara geçiş göstermesi dolayısıyla, çok daha az olabilirlikte bulunacaktır.

 Buna göre üstel olarak büyüme gösteren miktarların ölçülmesi sonucu ele geçirilen tabloların Benford’un savı kurallarına uymaları çok imkân dahilindedir.

Ancak şunu da hatırlamalıdır ki birçok halde üstel büyüme şekli göstermeyen sayılar için bile Benford’un savı uygulanabilir.

 Şuna dikkatin çekilmesi gerekir ki eğer eldeki sayılar çok değişik çeşitli dağılımlardan ortaya çıkartılmışlarsa, örneğin zeka testi sonuçları, kişilerin boyları gibi değişik normal dağılım gösteren değişkenlerse, bu sav geçerli olmayacaktır.

Fakat bu rakamlar ana kaynaktan değil diğer sayılarda karışık diğer bir kaynaktan elde edilmişlerse (örneğin anket sonuçlarını ‘karışık’ olarak veren bir makaleden) Benford’un savı tekrar geçerli olmaya başlayacaktır.

Hill [1998] matematikle ispat etmiştir ki eğer bir araştırmacı “rassal” olarak bir sıra olasılık dağılımı seçerse ve sonra da seçtiği dağılıma uyan bir sayı seçerse, sonuç olarak ortaya çıkan sayılar için Benford’un savı uygulanabilir.

Uygulamalar ve sınırlamalar

 

 1972’de Hal Varian hazırladığı bir yazıda bu savın bir ülke çapında planlama projesi için sunulan sosyo-ekonomik verilerin listesinde bir hilebazlık yapılıp yapılmadığı hakkında incelemeye baz olabileceğini iddia etmiştir.[6] Bu açıklamaya göre uydurma istatistik yaratıcılarının kullandıkları tek sayılar bir tekdüze dağılıma yaklaşık olacaktır.

Böylece kullanılan verilerin ilk rakamının frekans dağılımı ile Benford’un savına göre çıkartılan beklenen bir dağılımı karşılaştırılması herhangi bir uyuşmazlık gösteren veriyi ortaya çıkaracaktır.

Sonuç olarak bu uyuşmazlık gösteren verinin uydurma olabileceği çok mümkün görülecektir; fakat bu istatistiksel sonuç zayıf bir delil olduğu için mümkün hilebazlığın ispat edilmesi için daha ince ve detaylı inceleme gerekecektir.

Bu görüş benzeri bir çalışma J.Nye ve C.Moul (2007) tarafından uluslararası makroekonomik verilerin incelenmesi ile yapılmıştır.[7]

Bu çalışmada Dünya Bankası tarafından toplanan uluslararası gayrisafi millî hasıla istatistikleri incelenmiş ve çok büyük bir kısmının bu sava uygun olduğu görülmüştür.

Ancak küçük bir sayıda ülkeler için, genellikle gelişmekte olan ülkeler için, gayrisafi milli hasıla istatistiklerinin bu sava uymadığı ortaya çıkmıştır.

Bu sonuç asıl orijinal sayıların bürokratik ve politik karışım ile değiştirildiğine bir inanınılır gösterge olduğu iddiasını ortaya çıkartmıştır.

 Son zamanlarda Benford’un savının bu türde araştırma için diğer pratik kullanış alanları olacağı anlaşılmıştır.

Bunlar arasında büyük firmaların fiyatlama stratejilerini tekelcilik yapmadıklarını savunmak için sundukları fiyat listeleri, yıllık ve diğer periyodik muhasebe hesapları sunuları, vergiden düşülebilen masraflar için sunulan veriler, hasar sigortası talepleri, yeni ilaçlar için kliniksel denemeler, seçim masrafları bildirileri,[8] milli seçim sonuçları gibi konularda incelemelerin yapılması mümkün görülmektedir ve hatta bu konu türünde bazı pratik araştırmaların sonuçları bilimsel eser olarak yayınlanmıştır.[9]

 Ancak, bu tür uygulamaların sonuçlarını incelemek dikkat gerektirmektedir.

Bir grup pratik gerçek hayat örneği bu sava uygunluk göstermeyebilir; çünkü kullanılan veri kategorisinin içindeki sayıların dağılımı rassal olarak dağılımın çarpık kuyruğunda bulunmuş olabilirler.

 Tarih

 Benford’un savının açıkladığı gerçeğin keşfedilmesi 1881e kadar geri gider.

O tarihte bir Amerikan astronomu olan Simon Newcomb astronomi hesapları yaparken kullandığı logaritma cetvellerini ihtiva eden kitapların başlangıcındaki sayfaların sonraki sayfalardan daha çok kullanılması dolayısı ile zarar gördüğünü gözlemlemiştir.

 Bu çok kullanma belirtileri sırf sayfaların çok kullanılması şeklinde ise sadece sayfa uçlarında eski izleri görmesi beklenmekteydi; halbuki herhangi bir sayfayı kullananların sayfanın içindeki sayı satırlarına da baktıklarını, satır takip ederken bıraktıkları parmak izleri görülmesi ile açıklanmıştır.

 Ancak bu hikâyenin biraz abartıcı olduğu gerçektir.

Çünkü logaritma cetveli kitapları sadece logaritma değerleri değil, antilogaritmaları ve çok kere üsler, kökler, sinüsler, kosinüsler ve benzeri trigonometri cetvelleri de ihtiva etmektedir.

Bununla beraber, Newcombe’un yayımladığı makale birinci rakam dağılımları hakkında ilk açıklamayı ihtiva etmekte ve ikinci rakam dağılımı hakkında da bilgileri de kapsamaktadır.

Newcomb’un yazısında, N değerde herhangi bir sayının birinci rakamının log(N+1) değerde olacağı öne sürülmektedir.

 Aynı gerçek 1938’de daha geniş alanlarda bulunan veri gruplarını inceleyen fizikçi Frank Benford tarafından da tekrar keşif edilmiştir. 1996da Ted Hill bu sonucun karışık dağılımlara da uygulanabileceğini ispat etmiştir.

 Popüler kültürde kullanış

 Benford’un savı Amerikan televizyon şirketi CBS’in hazırladığı NUMB3RS adlı bir televizyon serisinin The Running Man (Koşan Adam) adlı bölümü için temel kurgu aleti olarak kullanılmıştır.

 İçsel kaynaklar

 Adlî muhasebe

Kesin hesap kontrolü

Kaynak

 İngilizce Vikipedi’deki 23 Mart 2008 tarihli Benford’s_law maddesi

Referanslar

 Frank Benford (1938 Mart), “The law of anomalous numbers” , Proceedings of the American Philosophical Society C.78 No.4 say 551–572 [1]

 Simon Newcomb, (1881) “Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers (Doğal Numaraların Değişik Sayısal İfadesinin Kullanış Sıklığı Hakkında Not)” American Journal of Mathematics C.4 No.1/4 say.39–40 [2]

 L.V.Furlan (1946), “Die Harmoniegesetz der Statistik: Eune Untersuchung uber die metrische Interdependenz der soziale Erscheinungen” (1948) Reviewed in Journal of the American Statistical Association C.43(Haziran) No.242 say. 325–328 [url=http://www.jstor.org/view/01621459/di985813/98p0504n/0?frame=noframe&userID=8614251252@york.ac.uk/01cc99331258e7114ffd0f8cf&dpi=3&config=jstor]

 Theodore P. Hill, (1998 Temmuz-Ağustos), “The first digit phenomenon” American Scientist C.86 say.358 [3]

^ [4]

 Hal Varian (1972), “Benford’s law” American Statistician C.26 say.65

^John Nye ve Charles Moul, (2007) “The Political Economy of Numbers: On the Application of Benford’s Law to International Macroeconomic Statistics” The B.E. Journal of Macroeconomics C.7(1) Makale no.17 [url = http://www.bepress.com/bejm/vol7/iss1/art17/%5D

 Wendy Cho ve Brian Gaines (2007 Augustos), “Breaking the (Benford) Law: statistical fraud detection in campaign finance” The American Statistician C.61 No.3 say.218–223 doi = 10.1016/j.ijresmar.2005.09.002

 Tarek el-Sehity, Erik Hoelzl ve Erich Kirchler (2005) “Price developments after a nominal shock: Benford’s Law and psychological pricing after the euro introduction” International Journal of Research in Marketing C.22 No.4 (Aralik) say.471–4 [url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6V8R-4HDP6TR-1&_user=10&_coverDate=12%2F31%2F2005&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=23171667aea48646882b2ec73d590b5c]

 Dışsal Bağlantılar

Bilgisayarda bulunan kullanma aletleri ve yazılımlar

 Benford’un savını kullanarak veri analizi için bedelsiz Java aleti

Statistics::Benford Benford’un savı’ndan sapmaları hesaplayan Perl modülü

Benford alt grupları üreten bir komputer yazılımı

İnternet Siteleri

 [5] Benford’un savı ve Zipf’in savı:cut-the-knot sitesinde.

[6] Benford’un savına bakış veya Sayi 1’in görünüşü .

[7] Beş tane tamsayı daha: sayi 1 ve Benford’un savı hazırlayan Simon Singh.

[8] Benford’un savını gösteren bir Flash uygulamasi, hazırlayan William Fawcett.

[9] Bir 1 sayısına bir bakış- hazırlayanlar Jon Walthoe, Robert Hunt ve Mike Pearson, arti Magazine, Eylul 1999.

[10] Benford’un savı -hazırlayan Paul Niquette.

[11] Benford’un Savı – MathPages sitesinde.

[12] Benford’un savının gizeminin DSP ile çözülüşü.

Reklamlar

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s